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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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2. En cada caso hallar dominio, imagen, ceros, conjuntos de positividad y de negatividad y dar la ecuación de la asintota horizontal de $f$. Graficar.
a) $f(x)=e^{x+1}$

Respuesta

En el video de funciones exponenciales vimos que éstas no tienen restricciones de su dominio, por lo tanto: 
• $Domf= \Re$ 



Identifiquemos si se trata de una función exponencial creciente ($a>0$) o decreciente ($0<a<1$):

La función $f(x)=e^{x+1}$ tiene base $e \approx 2,71..$. Es decir que la función va a ser del tipo creciente.



-> Hallemos los ceros:

$f(x)=0$
$ e^{x+1} = 0 $
Esto es absurdo, porque con la función exponencial "pura" sin sumarle o restarle un número (una constante), siempre toma valores positivos y nunca alcanza el cero. Si no te acordás andá a ver el video, yo sé lo que te digo..



-> Hallemos la imagen: 

Observando la función, vemos que no hay ningún valor restando o sumando a la porción exponencial, y eso nos indica que su imagen va a comenzar en 0. Sabiendo que la función es creciente, podemos decir que:
• \( Imf = (0, \infty) \)




-> Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad:

Como \( e^{x+1} \) es siempre positiva para cualquier valor de \( x \), no tiene conjunto de negatividad. Fijate que ni tenés conjunto de ceros.
• $C^{+} = \mathbb{R} $
• $C^{-} = \emptyset $ (conjunto vacío)




-> Hallemos la asíntota horizontal:

Veamos si hay asíntota horizontal, analizando los límites cuando $x$ tiende a -infinito y + inifnito, considerando que $e^{x+1}$ es una función creciente, dado que la base es $>0$ (acordate de las gráficas que vimos en el video):


·  Cuando $x \to +\infty$: $ \lim_{x \to \infty} e^{x+1} = e^{+\infty} = +\infty$
  A medida que \( x \to \infty \), \( f(x) \) tiende a \( \infty \), por lo que no hay asíntota horizontal en esa dirección. 


 ·  Cuando $x \to -\infty$: $ \lim_{x \to -\infty} e^{x+1} = e^{-\infty}  = 0$
 A medida que $x \to -\infty$, $f(x)$ tiende a 0. Por lo tanto, decimos que esta función tiene una AH en $y=0$.
• Hay AH en $y = 0$


(Acordate que no hay asíntotas verticales (AV) en funciones exponenciales)
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Avatar Bel 15 de mayo 13:47
Juli, como calculaste que la e elevada al -inf da 0? no entiendo como darme cuenta de eso sin el gráfico
Avatar Bel 15 de mayo 14:09
@Bel te consulto porque mi docente solo nos hace analizar inf solo, no plantear la opción de + y de -
Avatar Julieta Profesor 15 de mayo 17:08
@Bel Hola Bel! En los ejercicios de funciones exponenciales y logarítmicas, sí es importante plantear +inf y - inf. Y eso se resuelve pensando en el gráfico, teniendo en cuenta el valor de $a$, porque eso te dice, en la función exponencial, si la gráfica es creciente o decreciente. Entonces es super fácil calcular el límite. 
Pensá que por la forma que tiene la gráfica de las funciones exponenciales, es muy diferente lo que pasa con la función cuando analizas que pasa cuando tiende a - inf o a +inf.
Avatar Magdalena 7 de mayo 16:25
holaaa¡ como estas?
como puedo entender la parte de c0? porque no entiendo como sabes q va a ser siempre+
Avatar Julieta Profesor 8 de mayo 11:08
@Magdalena Hola Magda! Todo bien y vos? 

Eso es porque las funciones exponenciales tienen la forma $f(x) = a^x + B$. Si no tenés ese término $+B$, es decir, ningún número que sume o reste a la porción exponencial, éstas nunca van a cortar el eje $x$, porque esas funciones tienen asíntota en $y=0$. En el video de funciones exponenciales vemos eso, te suuuper recomiendo mirarlo porque ahí hay mucha data importante en todo lo que es el estudio de estas funciones.
Avatar Magdalena 9 de mayo 19:49
@Julieta joyaa lo voy a ver muchas grcaias

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